作业帮在矩形ABCD中,点O在对角线AC上,以OA长为半径的的圆O与AD,AC分别交于E,F.角ACE=角DCE.若AB=2 BC=4 圆O半径
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 09:04:48
在矩形ABCD中,点O在对角线AC上,以OA长为半径的的圆O与AD,AC分别交于E,F.角ACE=角DCE.若AB=2 BC=4 圆O半径
在矩形ABCD中,点O在对角线AC上,以OA长为半径的的圆O与AD,AC分别交于E,F.角ACE=角DCE.若AB=2 BC=4 圆O半径
在矩形ABCD中,点O在对角线AC上,以OA长为半径的的圆O与AD,AC分别交于E,F.角ACE=角DCE.若AB=2 BC=4 圆O半径
(1)直线CE与⊙O相切 证明如下：
∵四边形ABCD为矩形
∴BC‖AD,∠ACB=∠DAC
又∵∠ACB=∠DCE
∴∠DAC=∠DCE
连接0E,则∠DAC=∠AEO=∠DCE ∵∠DCE+∠DEC=90°
∴∠AEO+∠DEC=90°
∴∠DEC=90°
∴CE与⊙O相切
(2)令⊙O的半径为X,
∵tan∠ACB=√2/2 ,BC=2
∴AB=BCtan∠ACB=√2 ,AC= √6
又∵∠ACB=∠CAD
∵tan∠CAD= √2/2
∴AE=Xcos∠CDA=√6/3*2X,EF=Xsin∠CDA=√3/3*2X
在Rt△CDE中,DE=AD-AE=2-√6/3*2X,
CE^2= DE^2+CD^2=(2-√6/3*2X)^2+(√2)^2
连接OE,则在Rt△COE中,
CO^2=CE^2+EO^2,EO=X,CO=AC-AO=√6-X,
【√6-X】^2=(2-√6/3*2X)^2+(√2)^2+X^2
解得：X=√6/4.
把EO连起来
∠CAB=180-90-∠ACB=90-∠DAC （ABCD是矩形）
所以∠ACB=∠DAC=∠DCE
因为AO=OE 所以∠DAC=∠AEO=∠ACB=∠DCE （打红点的角都相等）
∠CAB=∠DEC （打蓝点的角也是相等的）
因为∠DAC+∠CAB=90° （蓝点和红点的角互余）
所以∠AEO+∠DEC=90°
那...
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把EO连起来
∠CAB=180-90-∠ACB=90-∠DAC （ABCD是矩形）
所以∠ACB=∠DAC=∠DCE
因为AO=OE 所以∠DAC=∠AEO=∠ACB=∠DCE （打红点的角都相等）
∠CAB=∠DEC （打蓝点的角也是相等的）
因为∠DAC+∠CAB=90° （蓝点和红点的角互余）
所以∠AEO+∠DEC=90°
那么∠CEO=180°-(∠AEO+∠DEC)=90°
那么CE是圆O的切线！！
AB=CD=BCtan∠ACB=√2
DE=CDtan∠DCE=√2×√2/2=1 (红点的角度都相等)
因为AD=BC=2 所以AE=AD-DE=1
tan∠EAO=√2/2 （红点） sin∠EAO/cos∠EAO=√2/2
那么(1-cos²∠EAO)/(cos²∠EAO)=1/2
1/cos²∠EAO=3/2 那么cos²∠EAO=2/3 cos∠EAO=√6/3
那么AO=AE×cos∠EAO=√6/3
所以圆半径是√6/3
收起