四边形ABCD是正方形,S为四边形ABCD所在直线外一点,SA=SB=SC=SDP是SC上的点,M,N分别是SB,SD上的点.且SP:PC=1:2,SM:MB=SN:ND=2:1,求证SA平行平面PMN
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 18:38:06
四边形ABCD是正方形,S为四边形ABCD所在直线外一点,SA=SB=SC=SDP是SC上的点,M,N分别是SB,SD上的点.且SP:PC=1:2,SM:MB=SN:ND=2:1,求证SA平行平面PMN
四边形ABCD是正方形,S为四边形ABCD所在直线外一点,SA=SB=SC=SD
P是SC上的点,M,N分别是SB,SD上的点.且SP:PC=1:2,SM:MB=SN:ND=2:1,求证SA平行平面PMN
四边形ABCD是正方形,S为四边形ABCD所在直线外一点,SA=SB=SC=SDP是SC上的点,M,N分别是SB,SD上的点.且SP:PC=1:2,SM:MB=SN:ND=2:1,求证SA平行平面PMN
如图建立空间直角坐标系:
设OA=(-a,0,0),OB=(0,a,0),OC=(a,0,0),OD=(0,-a,0),OS=(0,0,b)
SM=2/3SB=2/3(OB-OS)=2/3(0,a,-b)
SN=2/3SD=2/3(OD-OS)=2/3(0,-a,-b)
SP=1/3SC=1/3(OC-OS)=1/3(a,0,-b)
SA=OA-OS=(-a,0,0)-(0,0,b)=(-a,0,-b)
则
PM=(SM-SP)=(-1/3a,2/3a,-1/3b)
PN=(SN-SP)=(-1/3a,-2/3a,-1/3b)
设n=(x,y,z)是面pmn的法向量
则
-1/3ax+2/3ay-1/3bz=0 1
-1/3ax-2/3ay-1/3bz=0 2
解得
4/3ay=0, y=0
代入1得
-1/3ax-1/3bz=0,即 -ax-bz=0
设x=1,z=-a/b
n=(1,0,-a/b)
因为n*SA=(1,0,-a/b)(-a,0,-b)=0
所以n垂直SA,SA不在面PMN上,所以SA平行面PMN.