P是边长为4的正方形ABCD边BC上一点,过B作BG⊥AP于点G,过C作CE⊥AP与E,连BE.(1)如图11-①若P为BC的中点,求CE的长;(2)如图11-②当P在BC上运动时(不与B、C重合),求(AG-CE)/BE的值(3)当PB=_______
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/29 09:43:04
P是边长为4的正方形ABCD边BC上一点,过B作BG⊥AP于点G,过C作CE⊥AP与E,连BE.(1)如图11-①若P为BC的中点,求CE的长;(2)如图11-②当P在BC上运动时(不与B、C重合),求(AG-CE)/BE的值(3)当PB=_______
P是边长为4的正方形ABCD边BC上一点,过B作BG⊥AP于点G,过C作CE⊥AP与E,连BE.
(1)如图11-①若P为BC的中点,求CE的长;
(2)如图11-②当P在BC上运动时(不与B、C重合),求(AG-CE)/BE的值
(3)当PB=_______时,△BCE为等腰三角形
P是边长为4的正方形ABCD边BC上一点,过B作BG⊥AP于点G,过C作CE⊥AP与E,连BE.(1)如图11-①若P为BC的中点,求CE的长;(2)如图11-②当P在BC上运动时(不与B、C重合),求(AG-CE)/BE的值(3)当PB=_______
第一个问题:
由勾股定理,有:PA^2=AB^2+PB^2=AB^2+(BC/2)^2=(3/2)AB^2,
∴PA=√6AB/2=2√6.
显然有:PA×BG=AB×PB,
得:BG=AB×PB/PA=AB×(AB/2)/(2√6AB)=AB/(4√6)=√6/6.
第二个问题:
在AG上取一点F,使AF=CE.
∵ABCD是正方形,∴∠BAF+∠APB=90°.∵CE⊥PE,∴∠BCE+∠CPE=90°.
而∠APB=∠CPE,∴∠BAF=∠BCE,又AB=BC,AF=CE,∴△ABF≌△BCE,
∴BF=CE,∠ABF=∠CBE.
由∠ABF=∠CBE,∠ABC=90°,得:∠EBF=90°.
由∠EBF=90°,BF=CE,得∠BFG=45°,而BG⊥FG,∴FG/BF=√2,即FG/BE=√2.
很明显,FG=AG-AF=AG-CE,
∴(AG-CE)/BE=√2.
第三个问题:
∵CE⊥PE,∴∠BEC是钝角.
∵在三角形中若有钝角是时,只有一个且该角最大.∴∠BCE和∠CBE都不会与∠BEC相等,
∴当△BCE是等腰三角形时,只有是BE=CE.
由第二个问题的证明中,可知,当BE=CE时,有:AF=BF.
∵BFG是以BF为斜边的等腰直角三角形,
∴容易求得:BG=FG,且BF=√2BG,∴AF=√2BG.
∴BG/AG=BG/(AF+FG)=BG/(√2BG+BG)=1/(√2+1)=√2-1.
由∠APB=∠BPG,∠ABP=∠BGP=90°,得:△ABP≌△BGP,∴PB/AB=BG/AG=√2-1
∴PB=(√2-1)AB=4(√2-1).
即:当PB=4(√2-1)时,△BCE是等腰三角形.