求一道用导数解决的问题利用函数的单调性,证明ln x < x 0

求一道用导数解决的问题利用函数的单调性,证明ln x < x 0
求一道用导数解决的问题
利用函数的单调性,证明ln x < x 0

求一道用导数解决的问题利用函数的单调性,证明ln x < x 0
令y=lnx-x
y'=1/x-1
当0当x>1时,y’<0
即x=1时,y取最大值
y《-1<0
即ln x < x
令z=e^x-x
z'=e^x-1>0
即z在x>0上为增函数
z>e^0-0=1>0
即e^x>x
即得证

f(x)=lnx-x
f'(x)=1/x-1
当x在（0，1）时f'(x)＞0。在（1，正无穷）时f'(x)＜0
所以f(x)＜f(1)=-1＜0,也就是当x > 0时lnx-x＜0，lnx＜x
g(x)=x-e^x
g'(x)-1-e^x
当x在（0，正无穷）时g'(x)＜0
所以g(x)＜g(0)=-1＜0,也就是x-e^x＜0，x＜e^x
综上ln x < x