作业帮已知：对任意的x属于（0,正无穷）恒有f(2x)=2f(x)成立,且当x属于（1,2]时,f(x)=2-x.g(x)=f(x)-k(x-1),恰有三个零点.求k的取值范围?答案是k的取值范围为(-1/7,-1/15]U[4/3,2),
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/18 04:50:09
已知：对任意的x属于（0,正无穷）恒有f(2x)=2f(x)成立,且当x属于（1,2]时,f(x)=2-x.g(x)=f(x)-k(x-1),恰有三个零点.求k的取值范围?答案是k的取值范围为(-1/7,-1/15]U[4/3,2),
已知：对任意的x属于（0,正无穷）恒有f(2x)=2f(x)成立,且当x属于（1,2]时,f(x)=2-x.
g(x)=f(x)-k(x-1),恰有三个零点.求k的取值范围?
答案是k的取值范围为(-1/7,-1/15]U[4/3,2),
已知：对任意的x属于（0,正无穷）恒有f(2x)=2f(x)成立,且当x属于（1,2]时,f(x)=2-x.g(x)=f(x)-k(x-1),恰有三个零点.求k的取值范围?答案是k的取值范围为(-1/7,-1/15]U[4/3,2),
令g(x)=0,得f(x)=k(x-1)有三个零点
令y1=f(x),y2=k(x-1)即y1和y2有三个不同的交点,y2是过(1,0)点的一次函数,即直线
那么关键就在于f(x)的图像了
由f(2x)=2f(x)得f(x)=2f(x/2)
……
当x属于(-1/2,1]时,f(x)=1-x
当x属于(1,2]时,f(x)=2-x
当x属于(2,4]时,f(x)=4-x
当x属于(4,8]时,f(x)=8-x
当x属于(8,16]时,f(x)=16-x
……
画图,
于是直线y2的斜率k的范围应该介于AD和AE之间,或者AB和AC之间
本题考查函数的解析式和图像
首先 当x∈（1,2]时，f(x)=2-x.把这一段图像画出来，注意前开后闭
又设x∈（2,4]，则x/2∈（1,2]，∴ f(x/2)=2-x/2 ∴f(x)=2f(x/2)=4-x 再画出这段图像
同理 设x∈（4,8]，可画出这段图像 可观察出这些都是平行线段
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本题考查函数的解析式和图像
首先 当x∈（1,2]时，f(x)=2-x.把这一段图像画出来，注意前开后闭
又设x∈（2,4]，则x/2∈（1,2]，∴ f(x/2)=2-x/2 ∴f(x)=2f(x/2)=4-x 再画出这段图像
同理 设x∈（4,8]，可画出这段图像 可观察出这些都是平行线段
再设x∈（1/2,1]，则 2x∈（1,2] f(2x)=2-2x ∴f(x)=1/2f(2x)=1-x 画出这段图像
等等 可往前后任意画出无穷多平行线段
求g(x)=f(x)-k(x-1)的零点 即令g(x)=0 得到f(x)=k(x-1)，右侧表示过(1,0)的直线
（1）当k＞0时 注意到f(x)也过(1,0),∴ （2,2），（4,4）是两个边界点 斜率分别为4/3和2
此时k的范围为[4/3,2)，注意前闭后开
（2）当k＞0时 （1/8,1/8），（1/16,1/16）是两个边界点 斜率分别为-1/7和-1/15
此时k的范围为(-1/7,-1/15],注意前开后闭
综上 得出
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