求椭圆(x2/a2)+(y2/b2)=1内接矩形的最大面积.

求椭圆(x2/a2)+(y2/b2)=1内接矩形的最大面积.
求椭圆(x2/a2)+(y2/b2)=1内接矩形的最大面积.

求椭圆(x2/a2)+(y2/b2)=1内接矩形的最大面积.
设矩形为ABCD
A(x0,y0) 内接矩形的最大面积,矩形的边与坐标轴平行
内接矩形的面积S=4x0*y0
内接矩形的面积最大.,就是求t=x0*y0的最大值
设椭圆方程的参数式
x=a*cosθ
y=bsinθ
t=absinθcosθ
=ab/2*sin2θ
tmax=ab/2
内接矩形的最大面积S=4t=2ab

显然内接长方形面积最大时，中心与椭圆中心重合，都是原点
不妨设其中一个顶点坐标为(asinr,bcosr)
则其余三个顶点坐标为：(asinr,-bcosr)，(-asinr,bcosr)，(-asinr,-bcosr)
所以，长方形边长分别为：2asinr,2bcosr
面积=2asinr*2bcosr=2absin2r
所以，sin2r=1,r=π/4时...

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显然内接长方形面积最大时，中心与椭圆中心重合，都是原点
不妨设其中一个顶点坐标为(asinr,bcosr)
则其余三个顶点坐标为：(asinr,-bcosr)，(-asinr,bcosr)，(-asinr,-bcosr)
所以，长方形边长分别为：2asinr,2bcosr
面积=2asinr*2bcosr=2absin2r
所以，sin2r=1,r=π/4时，面积有最大值=2ab
法2设椭圆上任意一点（x,y），因为在椭圆上有对称性，所有跟（x,-y）,(-x,y),(-x,-y)四点组成了任意一个内接矩形。该矩形两个变长分别为2x和2y。所以矩形面积为4xy。4xy=2ab*[2(x/a)(y/b)]≤2ab*[(x/a)²+(y/b)²]=2ab*1=2ab
因此最大值为2ab。

收起

先求内接矩形在第一象限部分的最大面积：
设(x0,y0)为椭圆在第一象限上的一点。
(x0/a)*(y0/b)<=(1/2)(x0^2/a^2+y0^2/b^2)=1/2
x0y0<=ab/2
所以，椭圆内接矩形在第一象限部分最大面积为ab/2
那么，椭圆内接矩形最大面积为2ab