设x^1,x^2是关于x的方程x^2-2kx+1=k^2的二个实数根,求x^2 1+x^2 2的最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 08:52:24

设x^1,x^2是关于x的方程x^2-2kx+1=k^2的二个实数根,求x^2 1+x^2 2的最小值
设x^1,x^2是关于x的方程x^2-2kx+1=k^2的二个实数根,求x^2 1+x^2 2的最小值

设x^1,x^2是关于x的方程x^2-2kx+1=k^2的二个实数根,求x^2 1+x^2 2的最小值
x²-2kx+1-k²=0
方程有两个根,所以判别式>=0
(-2k)²-4(1-k²)>=0
8k²-4>=0,k²>=1/2
由韦达定理得
x1+x2=2k,x1x2=1-k²
所以
x1²+x2²
=(x1+x2)²-2x1x2
=4k²-2(1-k²)
=6k²-2
>=6×1/2-2
=1
即x1²+x2²的最小值是1,此时k²=1/2

根据韦达定理:
x1+x2=2k,x1x2=1-k^2
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=(2k)^2-2(1-k^2)
=4k^2-2+2k^2
=6k^2-2
判别式=4k^2-4(1-k^2)>=0
4k^2-4+4k^2>=0
k^2>=1/2
所以,当k^2=1/2时,有最小值是:6*1/2-2=1