作业帮关于二元函数极限的问题二元函数的极限要求自变量以任意方式趋于（x0,y0）时极限都要相等但是即使自变量以沿着任意直线趋于（x0,y0）时极限都相等,也无法保证f(x,y)在（x0,y0）处有极限,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 18:03:06
关于二元函数极限的问题二元函数的极限要求自变量以任意方式趋于（x0,y0）时极限都要相等但是即使自变量以沿着任意直线趋于（x0,y0）时极限都相等,也无法保证f(x,y)在（x0,y0）处有极限,
关于二元函数极限的问题
二元函数的极限要求自变量以任意方式趋于（x0,y0）时极限都要相等
但是即使自变量以沿着任意直线趋于（x0,y0）时极限都相等,也无法保证f(x,y)在（x0,y0）处有极限,这是为什么呢?
比如f(x,y)=(y^2-x)^2/(y^4+x^2),自变量以沿着任意直线趋于（0,0）时极限都相等（趋于1）,但是沿y^2=x趋于（x0,y0）时,函数值趋于0
虽然很容易从数值计算上得出这一结论,但是我不知道如何从实质上分析
按道理来说,当点沿着y^2=x趋于（0,0）时,若无限接近（0,0）,y^2=x应该与其在（0,0）处的切线无限接近,也就是说在极限状态下,y^2=x应与其切线一致,那么,点在曲线上运动和在曲线的切线上运动有何不同呢
关于二元函数极限的问题二元函数的极限要求自变量以任意方式趋于（x0,y0）时极限都要相等但是即使自变量以沿着任意直线趋于（x0,y0）时极限都相等,也无法保证f(x,y)在（x0,y0）处有极限,
粗略的理解,切线只是曲线在某点邻域上的一个线性近似.
将沿曲线运动的点换为沿切线运动,难免产生一定的误差.
这个误差的大小一方面依赖于曲线与切线的接近程度,
另一方面依赖f(x,y)在该点附近的光滑程度.
对于问题中的例子,考虑y² = x上的动点(a²,a),与(0,0)处的切线x = 0上的动点(0,a).
两点间的距离只有a²,当a趋于0时算是相对高阶的无穷小.
但是对于固定的a,f(x,a)在x = 0附近有较为剧烈的变化,
表现为偏导数f'x(0,a) = -2/a²,随a趋于0而趋于无穷.
这导致虽然x变化不大(a²级别),但是函数值变化还是较大(常数1).
极限存在要左右极限相等。如果x,y的定义域有限制，很可能左右极限是不同的。
郭敦顒回答：
对于举例f(x,y)=(y^2-x)^2/(y^4+x^2),来说，“自变量以沿着任意直线趋于（0,0）时极限都相等（趋于1）”是有待商讨的，
若y= kx，k≠0，则(y^2-x)^2/(y^4+x^2)=[（kx）^2－x] ²/[（kx）^4+（kx）^2]
则x→0，lim f(x,y)= lim f(x)= lim{[（kx）^2－x] &...
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郭敦顒回答：
对于举例f(x,y)=(y^2-x)^2/(y^4+x^2),来说，“自变量以沿着任意直线趋于（0,0）时极限都相等（趋于1）”是有待商讨的，
若y= kx，k≠0，则(y^2-x)^2/(y^4+x^2)=[（kx）^2－x] ²/[（kx）^4+（kx）^2]
则x→0，lim f(x,y)= lim f(x)= lim{[（kx）^2－x] ²/[（kx）^4+（kx）^2] }，这是0/0型求极限题，需用罗彼塔法则求解了，
x→0，lim{[（kx）^2－x] ²/[（kx）^4+（kx）^2] }
=[（kx）^2－x]²′/[（kx）^4+（kx）^2]′
=2[（kx）^2－x]× 2k²x/（4 k4x3+2k²x）
=2[（kx）^2－x]/（2k²x²+1）
=0/1=0。
“当点沿着y^2=x趋于（0,0）时，”
显然， (y^2-x)^2/(y^4+x^2)= (x-x)^2/( 2x^2)=0。
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