作业帮已知a,b,c是不全相等的正数,求证2(a^3+b^3+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 12:27:49
已知a,b,c是不全相等的正数,求证2(a^3+b^3+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
已知a,b,c是不全相等的正数,求证2(a^3+b^3+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
已知a,b,c是不全相等的正数,求证2(a^3+b^3+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
两式相减,提取公因式a^2,b^2,c^2
得a^2(2a-b-c)+b^2(2b-a-c)+c^2(2c-a-b)
=(a-c)(a^2-c^2)+(b-c)(b^2-c^2)+(a-b)(a^2-b^2)
然后再把每项化成(a-b)^2(a+b)的形式,最后大于零
还有问题可以去我的空间或者Hi我
原不等式整理得：
不妨设a>=b>=c
于是a^2>=b^2>=c^2
显然a^3+b^3+c^3是顺序和，a^2b+b^2c+c^2a是乱序和，所以a^3+b^3+c^3>=a^2b+b^2c+c^2a
同理ab^2+bc^2+ca^2也是乱序和，所以a^3+b^3+c^3>=ab^2+bc^2+ca^2
于是我们得到两个不等式：
a^3+b^3+...
全部展开
原不等式整理得：
不妨设a>=b>=c
于是a^2>=b^2>=c^2
显然a^3+b^3+c^3是顺序和，a^2b+b^2c+c^2a是乱序和，所以a^3+b^3+c^3>=a^2b+b^2c+c^2a
同理ab^2+bc^2+ca^2也是乱序和，所以a^3+b^3+c^3>=ab^2+bc^2+ca^2
于是我们得到两个不等式：
a^3+b^3+c^3>=a^2b+b^2c+c^2a
a^3+b^3+c^3>=ab^2+bc^2+ca^2
上两式相加整理即得2(a^3+b^3+c^3)>=a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
而排序不等式等号成立条件为a=b=c，而此时a,b,c不全相等，因此取不到等号，所以：
2(a^3+b^3+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
证毕。
收起
根据排序不等式
不妨设a>=b>=c
则a^2>=b^2>=c^2
所以a^3+b^3+c^3>a^2b+b^2c+c^2a(顺序和大于逆序和)
a^3+b^3+c^3>a^2c+b^2a+c^2b（顺序和大于乱序和）
相加即得
2(a^3+b^3+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)