如图 四棱锥p-abcd中,底面abcd为正方形,pa=pd,pa⊥平面pdc,e为棱pd的中点如图 四棱锥p-abcd中,底面abcd为正方形,pa=pd,pa⊥平面pdc,e为棱pd的中点 (1)求证:平面pad⊥平面abcd (2)求二面角E-AC-B的余弦
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/29 04:11:38
如图 四棱锥p-abcd中,底面abcd为正方形,pa=pd,pa⊥平面pdc,e为棱pd的中点如图 四棱锥p-abcd中,底面abcd为正方形,pa=pd,pa⊥平面pdc,e为棱pd的中点 (1)求证:平面pad⊥平面abcd (2)求二面角E-AC-B的余弦
如图 四棱锥p-abcd中,底面abcd为正方形,pa=pd,pa⊥平面pdc,e为棱pd的中点
如图 四棱锥p-abcd中,底面abcd为正方形,pa=pd,pa⊥平面pdc,e为棱pd的中点 (1)求证:平面pad⊥平面abcd (2)求二面角E-AC-B的余弦值
如图 四棱锥p-abcd中,底面abcd为正方形,pa=pd,pa⊥平面pdc,e为棱pd的中点如图 四棱锥p-abcd中,底面abcd为正方形,pa=pd,pa⊥平面pdc,e为棱pd的中点 (1)求证:平面pad⊥平面abcd (2)求二面角E-AC-B的余弦
(1)∵PA⊥平面PDC
∴PA⊥DC
∵ABCD是正方形
∴DC⊥AD
∵PA∩AD=平面PAD
∴DC⊥平面PAD
∵DC∈平面ABCD
∴平面ABCD⊥平面PAD
得证
(2)
取AD的中点为H,过H作HM⊥AC交AC于M.
∵ABCD-AB1C1D1是正方体,∴A1D1∥AD、A1D1=AD,又E、H分别是A1D1、AD的中点,
∴A1E∥AH、A1E=AH,∴A1AHE是平行四边形,∴EH∥A1A.
∵ABCD-AB1C1D1是正方体,∴A1A⊥平面ABCD,∴A1A⊥AC.
∵EH∥A1A、A1A⊥AC,∴AC⊥EH,又AC⊥HM、EH∩EM=E,∴AC⊥平面EHM,∴EM⊥AC.
由EM⊥AC、HM⊥AC、H在平面ACD上,∴∠EMH就是二面角E-AC-D的平面角.
∵ABCD-AB1C1D1是正方体,∴A1A=AD、ABCD是正方形,∴∠HAM=45°,又HM⊥AM,
∴HM=AH/√2=AD/(2√2).
∵A1AHE是平行四边形,∴EH=A1A=AD.
∵A1A⊥平面ABCD、EH∥A1A,∴EH⊥平面ABCD,而HM在平面ABCD上,∴EH⊥HM,
∴由勾股定理,有:EM=√(EH^2+HM^2)=√[AD^2+(1/8)AD^2]=(3/√8)AD.
∴cos∠EMH=HM/EM=[AD/(2√2)]/[(3/√8)AD]=1/3.
∴二面角E-AC-B的余弦值是 1/3.