已知△ABC是等边三角形D为△ABC外一点,点M、N分别在△ABC的两边AB、AC所在直线上,且∠MDN=60°(1)求图一中BM MN CN的关系(2)图二中(1)的结论是否成立,并加以证明(3)图三中(1)的结论是否成
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/01 10:06:32
已知△ABC是等边三角形D为△ABC外一点,点M、N分别在△ABC的两边AB、AC所在直线上,且∠MDN=60°(1)求图一中BM MN CN的关系(2)图二中(1)的结论是否成立,并加以证明(3)图三中(1)的结论是否成
已知△ABC是等边三角形D为△ABC外一点,点M、N分别在△ABC的两边AB、AC所在直线上,且∠MDN=60°
(1)求图一中BM MN CN的关系
(2)图二中(1)的结论是否成立,并加以证明
(3)图三中(1)的结论是否成立,并加以证明
已知△ABC是等边三角形D为△ABC外一点,点M、N分别在△ABC的两边AB、AC所在直线上,且∠MDN=60°(1)求图一中BM MN CN的关系(2)图二中(1)的结论是否成立,并加以证明(3)图三中(1)的结论是否成
(1)如图,BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN.
此时Q L =2 3 .
(2)猜想:结论仍然成立.
证明:如图,延长AC至E,使CE=BM,连接DE.
∵BD=CD,且∠BDC=120°,
∴∠DBC=∠DCB=30°.
又△ABC是等边三角形,
∴∠MBD=∠NCD=90°.
在△MBD与△ECD中:
BM=CE∠MBD=∠ECDBD=DC
∴△MBD≌△ECD(SAS).
∴DM=DE,∠BDM=∠CDE.
∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°.
在△MDN与△EDN中:
DM=DE∠MDN=∠EDNDN=DN ,
∴△MDN≌△EDN(SAS).
∴MN=NE=NC+BM.
△AMN的周长Q=AM+AN+MN
=AM+AN+(NC+BM)
=(AM+BM)+(AN+NC)
=AB+AC
=2AB.
而等边△ABC的周长L=3AB.
∴Q L =2AB 3AB =2 3 .
(3)如图,当M、N分别在AB、CA的延长线上时,若AN=x,
则Q=2x+2 3 L(用x、L表示).