如果a>0,b>0 ,求证(a+b)(1/a+1/b)大于等于4,用反证法怎么证明啊?

如果a>0,b>0 ,求证(a+b)(1/a+1/b)大于等于4,用反证法怎么证明啊?
如果a>0,b>0 ,求证(a+b)(1/a+1/b)大于等于4,用反证法怎么证明啊?

如果a>0,b>0 ,求证(a+b)(1/a+1/b)大于等于4,用反证法怎么证明啊?
如果(a+b)(1/a+1/b)

设 (a+b)(1/a+1/b）＜4，
把原式展开，则得到
b/a+a/b+2＜4
即
b/a+a/b＜2
由a>0，b>0 可知，b/a+a/b≥2恒成立，
所以题设(a+b)(1/a+1/b)小于4不成立，故原命题成立

反证：假设(a+b)(1/a+1/b)<4
由此得
1+a/b+b/a+1<4
a/b+b/a<2
（a^2+b^2)/ab<2
a^2+b^2<2ab
因为（a+b)^2>=0,拆开可以得到a^2+b^2>=2ab,由此得假设不成立，

所以(a+b)(1/a+1/b)大于等于4

按你的要求用反证法证:
设 (a+b)(1/a+1/b)<4
则 (a+b)^2/ab < 4
因为 a>0，b>0,所以 ab>0,两边同乘以ab得
(a+b)^2 < 4ab
(a-b)^2 < 0
显然,(a-b)^2 不可能小于 0,所以假设不成立,应是:
(a+b)(1/a+1/b) >= 4

要证明 (a+b)(1/a+1/b)≥4
假设原式不成立，即(a+b)(1/a+1/b）< 4
因为 1/a+1/b=(a+b)/ab
所以 (a+b)(1/a+1/b）< 4
(a+b)^2/ab < 4
因为a>0，b>0，
所以ab>0时 ： (a+b)^2<4ab
...

全部展开

要证明 (a+b)(1/a+1/b)≥4
假设原式不成立，即(a+b)(1/a+1/b）< 4
因为 1/a+1/b=(a+b)/ab
所以 (a+b)(1/a+1/b）< 4
(a+b)^2/ab < 4
因为a>0，b>0，
所以ab>0时 ： (a+b)^2<4ab
a^2+2ab+b^2<4ab
a^2-2ab+b^2<0
(a-b)^2<0
不成立。
得证

收起

证明：假设(a+b)(1/a+1/b)<4
则(a+b)[(a+b)/ab]<4
(a+b)^2/ab<4
(a+b)^2/ab-4<0
[(a+b)^2 -4ab]/ab<0
(a-b)^2/ab<0
又因为(a-b)^2大于等于0
所以ab<0
这与已知a>0，b>0不符合
故(a+b)(1/a+1/b)大于等于4