当X趋近于0时,（1+2x）的3/sinx次方的极限是多少?为什么是e^6?

当X趋近于0时,（1+2x）的3/sinx次方的极限是多少?为什么是e^6?
当X趋近于0时,（1+2x）的3/sinx次方的极限是多少?为什么是e^6?

当X趋近于0时,（1+2x）的3/sinx次方的极限是多少?为什么是e^6?
(1+2x)^(3/sinx)
=e^{[ln(1+2x)](3/sinx)}
∴lim(x→0)(1+2x)^(3/sinx)
=lim(x→0)e^{[ln(1+2x)](3/sinx)}
=lim(x→0)e^[2x(3/x)] (∵x→0时,2x是ln(1+2x)的等价无穷小量；x是sinx的等价无穷小量)
=e^6

首先，由于当X趋于0时，有（1+x）的1/x次方等于e
所以可以配凑上式为此形式，即3/sinx=3/sinx *1/(2x) *2x=1/(2x)*(3/sinx * 2x)
同时x趋于0时，x/sinx=1
所以，1/(2x)*(3/sinx * 2x)=1/(2x)*6
（1+2x）的3/sinx次方就等于（1+2x）的1/(2x)次方的6次方，即e^6