作业帮已知数列的前n项和为Sn且a1=1,an+1=1/2Sn（n=1,2,3.)(1)求数列an的通项公式（2）当bn=log1.5(3an+1)时求证数列1/bnbn+1的前n项和Tn=n/1+n
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 10:51:04
已知数列的前n项和为Sn且a1=1,an+1=1/2Sn（n=1,2,3.)(1)求数列an的通项公式（2）当bn=log1.5(3an+1)时求证数列1/bnbn+1的前n项和Tn=n/1+n
已知数列的前n项和为Sn且a1=1,an+1=1/2Sn（n=1,2,3.)
(1)求数列an的通项公式（2）当bn=log1.5(3an+1)时求证数列1/bnbn+1的前n项和Tn=n/1+n
已知数列的前n项和为Sn且a1=1,an+1=1/2Sn（n=1,2,3.)(1)求数列an的通项公式（2）当bn=log1.5(3an+1)时求证数列1/bnbn+1的前n项和Tn=n/1+n
1
∵an+1=1/2Sn
∴n≥2时,
an=1/2*S(n-1)
两式相减：
a(n+1)-an=1/2*Sn-1/2*S(n-1)=1/2*an
∴a(n+1)=3/2*an
∴a(n+1)/an=3/2
∴n≥2时,{an)为等比数列,公比为3/2
首项a2=1/2*S1=1/2
∴{an}的通项公式为分段公式：
an={1 (n=1)
{1/2*(3/2)^(n-2) (n≥2)
2
bn=log(1.5)[3a(n+1)]=log(3/2)[3*1/2*(3/2)^(n-1)]
=log(3/2)[(3/2)^n]=n
∴1/bnbn+1=1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)
∴Tn=1/b1*b2+1/b2*b3+.+1/bnb(n+1)
=1-1/2+1/2-1/3+.+1/n-1/(n+1)
=1-1/(n+1)
=n/(n+1)
a(n+1)=1/2Sn,
因此an=1/2S(n-1)
二式的两边相减得到a(n+1)-an=1/2[Sn-S(n-1)]
就是a(n+1)-an=1/2an
--->a(n+1)=3/2an
所以数列{an}是等比数列，第一项a1=1,公比q=3/2，所以an=(3/2)^(n-1).
2)bn=log1.5(an+1)=log1.5...
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a(n+1)=1/2Sn,
因此an=1/2S(n-1)
二式的两边相减得到a(n+1)-an=1/2[Sn-S(n-1)]
就是a(n+1)-an=1/2an
--->a(n+1)=3/2an
所以数列{an}是等比数列，第一项a1=1,公比q=3/2，所以an=(3/2)^(n-1).
2)bn=log1.5(an+1)=log1.5(3/2)^n=n
所以有:Tn=1/1*2+1/2*3+...+1/n(n+1)=1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)=n/(n+1)
收起
由an+1=Sn+1 - Sn也=1/2 Sn可以得到：Sn+1/Sn=3/2.于是可以知道Sn是一项以S1=a1=1，公比q=3/2的等比数列，即：Sn=a1*q(n-1)=3/2 的（n-1）次方。然后再用an=Sn-Sn-1求出。。 这个实在不好打上去，后面的1/bnbn+1可以放在一起交叉抵消掉。