在三角形ABC中,已知BD=2DC,AM=3MD,过M作直线交AB、AC于P、Q两点,则AB/AP+2AC/AQ=

在三角形ABC中,已知BD=2DC,AM=3MD,过M作直线交AB、AC于P、Q两点,则AB/AP+2AC/AQ=
在三角形ABC中,已知BD=2DC,AM=3MD,过M作直线交AB、AC于P、Q两点,则AB/AP+2AC/AQ=

在三角形ABC中,已知BD=2DC,AM=3MD,过M作直线交AB、AC于P、Q两点,则AB/AP+2AC/AQ=
解法一
用面积法可证：
1、用特殊值法确定答案应该是4.则即要证明(AB/2)/AP+AC/AQ=2,易证明CO过AB的中点E,切O是CE的中点.即要证明：AE/AP+AC/AQ=2,即要证明（AE＊AQ＋AC＊AP）／（AP＊AQ）＝2
2、给分子分母同乘以角A的正弦的一半,即要证明三角形AEQ的面积＋三角形ACP的面积＝2倍的三角形APQ的面积,即要证明：三角形EPQ的面积＝三角形CPQ的面积,而这两个三角形是同底等高的三角形
解法二
倍长AC到E,连接BE,延长AD交BE于F,直线PQ交直线BE于G
然后要狂用梅式定理.
(BF/EF)*(AE/AC)*(CD/BD)=1
然后可得BF=EF
AF、BC都为△ABE中线,因此D为重心,AD＝2DF,然后根据AM＝3MD可得M为AF中点
设PB/PA=x/y
由梅式定理得
(AM/MF)*(GF/BG)*(PB/PA)=1
GF/GB=y/x,而BF=EF
因此EG/GF=2-x/y
(AQ/QE)*(EG/GF)*(AM/MF)=1
得到
QE/AQ=EG/GF=2-x/y
2AC/AQ=AE/AQ=1+QE/AQ=3-x/y
AB/AP=(x+y)/y
AB/AP+2AC/AQ=(x+y)/y+3-x/y=4
解法三
倍长AC到E,连BE,延长AD交BE于F
分别过B、E、A、F作直线PQ的垂线BH、EI、AJ、FK
易证F为BE中点,M为AF中点,BH∥EI∥AJ∥FK
AB/AP=(AJ+BH)/AJ
2AC/AQ=(IC+AJ)/AJ
AB/AP+2AC/AQ=(2AJ+IC+BH)/AJ
易证AJ=FK=(BH+CI)/2
因此AB/AP+2AC/AQ=4

没有图啊