圆内接正方形ABCD ,点P为劣弧AD上任一点,求(PA+PC)/PB为一个固定值

圆内接正方形ABCD ,点P为劣弧AD上任一点,求(PA+PC)/PB为一个固定值
圆内接正方形ABCD ,点P为劣弧AD上任一点,求(PA+PC)/PB为一个固定值

圆内接正方形ABCD ,点P为劣弧AD上任一点,求(PA+PC)/PB为一个固定值
证明：如图
连接AC,过点A作AE⊥BP于E
∵∠ABP与∠ACP是同一圆弧AP所对的圆周角
∴∠ABP=∠ACP
∵四边形ABCD是圆内接正方形
∴AC是圆的直径
∴∠APC=∠AEB=90°
∴Rt△AEB∽Rt△APC
∴AP/AE=PC/BE=AC/AB=√2
即：AP=√2AE,PC=√2BE
∵圆弧AB为1/4圆
∴∠APB=45°
∴PE=AE
∴AP+PC=√2AE+√2BE=√2PE +√2BE=√2PB
∴(AP+PC)/PB=√2
即(AP+PC)/PB为定值√2