作业帮limx→0(sinx-tanx)/{[三次根号下(1+x^2)-1]*[根号下(1+sinx)-1]}
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/14 19:54:32
limx→0(sinx-tanx)/{[三次根号下(1+x^2)-1]*[根号下(1+sinx)-1]}
limx→0(sinx-tanx)/{[三次根号下(1+x^2)-1]*[根号下(1+sinx)-1]}
limx→0(sinx-tanx)/{[三次根号下(1+x^2)-1]*[根号下(1+sinx)-1]}
lim(x→0)(sinx-tanx)/{[3√(1+x^2)-1]*[√(1+sinx)-1]}
用等价无穷小化简：(n√x+1)-1 x/n
sinx~x
1-cosx~x²/2
还要把sinx-tanx化为：sinx(cosx-1)/cosx
=lim(x→0)(sinx-tanx)/{(x²/3)(sinx/2)}
=lim【(sinx)(1-1/cosx)】/(x³/6)
=lim【sinx(cosx-1)】/【cosx(x³/6)】
=lim【x(-x²/2)】 / (x³/6)
=-3
令三次根号下(1+x^2)=t，则t³-1=(t-1)(t²+t+1)
分子分母同乘以(t²+t+1)*[√(1+sinx)+1]得
limx→0(sinx-tanx)/{[三次根号下(1+x²)-1]*[√(1+sinx)-1]}
=limx→0(sinx-tanx)/{[t-1]*[√(1+sinx)-1]}
=limx→...
全部展开
令三次根号下(1+x^2)=t，则t³-1=(t-1)(t²+t+1)
分子分母同乘以(t²+t+1)*[√(1+sinx)+1]得
limx→0(sinx-tanx)/{[三次根号下(1+x²)-1]*[√(1+sinx)-1]}
=limx→0(sinx-tanx)/{[t-1]*[√(1+sinx)-1]}
=limx→0(sinx-tanx)*(t²+t+1)*[√(1+sinx)+1]/{[t-1]* (t²+t+1)*[√(1+sinx)+1] [√(1+sinx)-1]}
=limx→0(sinx-tanx)*(t²+t+1)*[√(1+sinx)+1]/{[t³-1]*[(1+sinx)-1]}
=limx→0(sinx-tanx)*(t²+t+1)*[√(1+sinx)+1]/[(t³-1)sinx]
=limx→0(1-1/cosx)*(t²+t+1)*[√(1+sinx)+1]/(t³-1)
=limx→0(cosx-1)*(t²+t+1)*[√(1+sinx)+1]/[(t³-1)cosx]
=limx→0(cosx-1)*[三次根号下(1+x²)²+三次根号下(1+x²)+1]*[√(1+sinx)+1]/(x²cosx)
再对cosx运用倍角公式
=limx→0[-2sin²(x/2)]*[三次根号下(1+x²)²+三次根号下(1+x²)+1]*[√(1+sinx)+1]/(x²cosx)
=limx→0{[-2sin²(x/2)]/x²}*[三次根号下(1+x²)²+三次根号下(1+x²)+1]*[√(1+sinx)+1]/cosx
=limx→0 (-1/2){[sin(x/2)]/(x/2)}² *
limx→0 [三次根号下(1+x²)²+三次根号下(1+x²)+1]*[√(1+sinx)+1]/cosx
=(-1/2)*1/[(1+1+1)(1+1)/1]
=(-1/2)*6
= -3
收起