如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,连接BE并延长交AC于点F,DG是△BCF的中位线证:EF=1/3BE

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/17 23:39:23

如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,连接BE并延长交AC于点F,DG是△BCF的中位线证:EF=1/3BE
如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,连接BE并延长交AC于点F,DG是△BCF的中位线
证:EF=1/3BE

如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,连接BE并延长交AC于点F,DG是△BCF的中位线证:EF=1/3BE
法1
过点E作EG//BC交AC于点G
1.由平行得出三角形AEG相似于三角形ADC,又由E为AD中点得出EG/DC=1/2
所以EG/BC=1/4
2.由同样的平行证出三角形EFG相似于三角形BFC,得出FE/FB=EG/BC=1/4
所以EF/BE=1/3
法2(如果目前你只学过全等)
作DG//AF交BE于点G
证明三角形EGD全等于EFA,得出EG=EF
再作GH//BC交AC于点H
证明三角形GBD全等于FGH,得出BG=GF=2EF
所以EF/BE=1/3

∵DG是△BCF的中位线
∴DG=(1/2)/BF,DG∥BF
又∵E是AD的中点
∴EF=(1/2)DG
∴EF=(1/4)BF…….(1)
BE=BF-EF=BF-(1/4)BF=(3/4)BF……(2)
(1)式除以(2)式,得
EF=(1/3)BF

由E是AD中点,GD平行于AC,容易证明三角形DGE全等于三角形AFE(AAS或ASA)
所以GE=EF
又由DG是三角形BCF的中位线可得BG=GF
于是EF=1/3BE得证。