f(x)=sin(x+ α)+cos(x-α),求使f(x)为偶函数的充分必要条件

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/17 06:00:34

f(x)=sin(x+ α)+cos(x-α),求使f(x)为偶函数的充分必要条件
f(x)=sin(x+ α)+cos(x-α),求使f(x)为偶函数的充分必要条件

f(x)=sin(x+ α)+cos(x-α),求使f(x)为偶函数的充分必要条件
f(x)为偶函数的充分必要条件是：f(x)=f(-x)
所以f(x)=sin(x+α)+cos(x-α)=f(-x)=sin(-x+α)+cos(-x-α),
又sin（-x）=-sin x,cos(-x）=cosx
所以sin(x+α)+cos(α-x)=sin(α-x)+cos(x+α)
展开化简得 cos α=-sin α
即tan α=-1

由题得：f(-x)=f(x)对一切x∈R恒成立，
sin(-x+α)+cos(-x-α)=sin(x+α)+cos(x-α)
即sin(x+α)+sin(x-α)=cos(x+α)-cos(x-α)
2sinx•cosα=-2sinx•sinα
∴sinx(sinα+cosα)=0
∴对一切x∈R恒成立， 只需也必须siα+cosα...

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由题得：f(-x)=f(x)对一切x∈R恒成立，
sin(-x+α)+cos(-x-α)=sin(x+α)+cos(x-α)
即sin(x+α)+sin(x-α)=cos(x+α)-cos(x-α)
2sinx•cosα=-2sinx•sinα
∴sinx(sinα+cosα)=0
∴对一切x∈R恒成立， 只需也必须siα+cosα=0。
∴α=kπ-π/4.（k∈Z)
即α=kπ-π/4.（k∈Z)是f(x)=sin(x+ α)+cos(x-α)为偶函数的充分必要条件

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f(x)=sinxcosα+cosxsinα+cosxcosα+sinxsinα=sinx(cosα+sinα)+cosx(sinα+cosα)=(sinx+cosx)(sinα+cosα)
f(x)为偶函数 所以f(x)=f(-x)
所以（sinx+cosx)(sinα+cosα)=)=(sin-x+cos-x)(sinα+cosα)
所以(sinα+cosα) （si...

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f(x)=sinxcosα+cosxsinα+cosxcosα+sinxsinα=sinx(cosα+sinα)+cosx(sinα+cosα)=(sinx+cosx)(sinα+cosα)
f(x)为偶函数 所以f(x)=f(-x)
所以（sinx+cosx)(sinα+cosα)=)=(sin-x+cos-x)(sinα+cosα)
所以(sinα+cosα) （sinx+cosx-sin-x-cos-x）=0
由于cosx=cos-x sinx=-sin-x 所以上式变为：
(sinα+cosα) （2sinx）=0
显然只能是 sinα+cosα=0 所以sinα=-cosα
所以tanα=-1
所以α=nπ-π/4

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f'(sin x)=1-cos x 求f''(x) 函数f(x)=sin(x)+cos(x)-sin(x)*cos(x)的值域是什么 f（x）=sin x +cos x +sin x * cos x ,求值域 f(x)=cos(2x)+2sin(x)化简 F(X)=SIN X+COS X展开的幂级数 求f(x)=|sin x|+|cos x|的周期 f(x)=sin³x-cos³x f(x)=sin x+cos x的奇偶性, f'(sin^2x)=cos^2x,求f(x)f'((sin^x)^2)=(cos^x)^2 f(sin x)=cos2X 那么f(cos x)= f(x)为奇函数,x>0,f(x)=sin 2x+cos x,则x 若f（sin x+cos x）=sin x·cos x,则f（cos 派/6）=? f(x)=|sin x+cos x+tan x+cot x+sec x+csc x|最小值 若函数f(x)=sin(x+α)-2cos(x-α)是奇函数,则sinαcosα= f(x)=(2-sinα)/cosα的导数 如果f(cos x)=sin 3x,那么f(sin x)等于A.sin 3x B.-sin 3x Ccos 3x D-cos 3x cos x /sin x= 求f(x)=sinα+cosα+sinαcosα的最值