设a>0 b>0 a+b=1 证(a+(1/a))^2+(b+(1/b))^2 ≥25/2

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 16:55:33

设a>0 b>0 a+b=1 证(a+(1/a))^2+(b+(1/b))^2 ≥25/2
设a>0 b>0 a+b=1 证(a+(1/a))^2+(b+(1/b))^2 ≥25/2

设a>0 b>0 a+b=1 证(a+(1/a))^2+(b+(1/b))^2 ≥25/2
证明:由柯西不等式:(1+1)[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2]>=(a+1/a+b+1/b)^2=(1+1/a+1/b)^2
再用柯西不等式:(a+b)(1/a+1/b)>=(1+1)^2=4
所以1/a+1/b>=4
于是2[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2]>=(1+4)^2=25
上式即(a+1/a)^2+(b+1/b)^2>=25/2