如图,等腰梯形ABCD中,AB//CD,AC、BD交于点O,∠AOB=∠COD=60度,P、E、F分别为BC、OA、OD的中点,(1)PE=PF(2)求∠EPF的度数
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/02 22:55:01
如图,等腰梯形ABCD中,AB//CD,AC、BD交于点O,∠AOB=∠COD=60度,P、E、F分别为BC、OA、OD的中点,(1)PE=PF(2)求∠EPF的度数
如图,等腰梯形ABCD中,AB//CD,AC、BD交于点O,∠AOB=∠COD=60度,P、E、F分别为BC、OA、OD的中点,(1)PE=PF
(2)求∠EPF的度数
如图,等腰梯形ABCD中,AB//CD,AC、BD交于点O,∠AOB=∠COD=60度,P、E、F分别为BC、OA、OD的中点,(1)PE=PF(2)求∠EPF的度数
证明:连结BE、CF
在等腰梯形ABCD中 底角相等可知
角OAB=角OBA 角DOC=角COD
又角AOB=60度 根据对顶角相等知
角COD=60度
所以 三角形AOB和三角形COD为正三角形
因为E为AO中点
所以BE为三角形AOB边AO的中线
所以BE垂直AO
在三角形BEC中 角BEC=90°
因为P为斜边BC中点
所以EP=1/2BC
同理FP=1/2BC
又因为F、E为OD,OA中点
所以EF为边AD的中位线 即EF=1/2AD
因为AD=BC
所以EP=FP=EF
因此△EFP是等边三角形
所以,(1)PE=PF
(2)∠EPF=60°
过F做PC的平行线交DC于G
因为PF//DC,G在DC上,所以PF//GC
又FG//PC故四边形FGCP是个平行四边形(两对边分别平行的四边形是平行四边形)
所以FG=PC(1),FP=GC(2) (平行四边形两对边分别相等)
因为这是个等腰梯形,所以角DBC=角ACB(这个虽然不能直接得出,但是你肯定知道为什么)
又FG//PC且P在BC上,所以F...
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过F做PC的平行线交DC于G
因为PF//DC,G在DC上,所以PF//GC
又FG//PC故四边形FGCP是个平行四边形(两对边分别平行的四边形是平行四边形)
所以FG=PC(1),FP=GC(2) (平行四边形两对边分别相等)
因为这是个等腰梯形,所以角DBC=角ACB(这个虽然不能直接得出,但是你肯定知道为什么)
又FG//PC且P在BC上,所以FG//BC,所以角DFG=角DBC=角ACB(3)
因为EP//AB,所以角EPC=角ABC,且等腰梯形中两底角相等即角ABC=角DCB就等于角EPC
因为FG//BC,所以角DGF=角DCB
因为角DCB还等于角EPC,所以角DGF=角EPC(4)
在三角形DGF和三角形EPC中有(1),(3),(4)即满足两个三角形两角及其所夹边对应相等,所以这两个三角形全等
则有EP=DG,且在平行四边形FGCP中 有FP=GC,又GC+DG=DC
所以PE+PF=DC,这是个等腰梯形,AB=DC,所以PE+PF=AB
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