如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为E,EF∥BC交AD与点F.求证∠B=∠ACF.

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为E,EF∥BC交AD与点F.求证∠B=∠ACF.
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为E,EF∥BC交AD与点F.求证∠B=∠ACF.

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为E,EF∥BC交AD与点F.求证∠B=∠ACF.
延长CF交AB于G点
DE⊥AB,所以,∠ADE=90°=∠ACB
AD是∠BAC平分线,所以,∠CAD=∠DAB
所以△ACD=△AED
所以CD=DE；∠ADC=∠ADE；AC=AE
所以△FCD=△FED
所以CF=CE
AC=AE；AD是∠BAC平分线
所以△AFC=△AFE
所以∠ACF=∠AEF
EF∥BC
所以∠B=∠AEF
所以∠B=∠ACF

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证明：
∵∠AED=∠ACD=90º，∠CAD=∠EAD（AD平分∠BAC），AD=AD
∴⊿ACD≌⊿AED（AAS），∴AC=AE
又∵∠CAF=∠EAF，AF=AF
∴⊿ACF≌⊿AEF（SAS）
∴∠ACF=∠AEF
∵EF//BC
∴∠AEF=∠B
∴∠ACF=∠B

证明 三角形AEF与ACF全等角ACF=AEF EF平行BC角B
证明三角形全等先证AE=AC 先证三角形ACD=AED

连接CF
△ACF全等于△AEF CF=EF
△ACD全等于△AED CD=ED
所以△CFD全等于△EFD
∠FCD=∠FED=∠EDB EF∥BC
∠B+∠EDB =∠ACF+∠FCD=90
所以∠B=∠ACF

∵∠B ∠BDE=90°∴∠B ∠FED=90° (FE BC) 延长EF交AC于G则∠FED=∠GFC ∴∠B ∠GFC=90°∵∠ACF ∠GFC =90°∴∠B=∠ACF