已知二次函数f(x)=ax²+bx-3(a≠0)在x=1处取得极值,且在(0,-3)点处的切线与直线x-2y=0垂直.（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）=xf（x）+4x的单调递增区间

已知二次函数f(x)=ax²+bx-3(a≠0)在x=1处取得极值,且在(0,-3)点处的切线与直线x-2y=0垂直.（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）=xf（x）+4x的单调递增区间
已知二次函数f(x)=ax²+bx-3(a≠0)在x=1处取得极值,且在(0,-3)点处的切线与直线x-2y=0垂直.
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）=xf（x）+4x的单调递增区间

已知二次函数f(x)=ax²+bx-3(a≠0)在x=1处取得极值,且在(0,-3)点处的切线与直线x-2y=0垂直.（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）=xf（x）+4x的单调递增区间
1.
f’(x)=2ax+b
因为函数在x=1处取得极值
所以f’(1)=2a+b=0
因为函数在(0,-3)点处的切线与直线x-2y=0垂直
所以f’(0)=b=-2
a=1 b=-2
即 f(x)=x²-2x-3
2.
g(x)=x(x²-2x-3)+4x=x³-2x²+x
g’(x)=3x²-4x+1
令g’(x)=0
得x=1/3 x=1
当x≤1/3时,g’(x)≥0 g(x)单调递增
当1/3＜x≤1时,g’(x)≤0 g(x)单调递减
当x＞1时,g’(x)＞0 g(x)单调递增
所以g(x)的单调增区间为(-∞,1/3]∪(1,+∞)
单调减区间为(1/3,1]

在x=1处取得极值，即对称轴为x=1，则 -b/2a=1,
(0,-3)点处的切线与直线x-2y=0垂直, 切线直线方程为：y=-2x-3,
令ax²+bx-3=-2x-3，只有一根，得 b=-2 ,则a=1
所以 f(x)=x²-2x-3
2）. g(x)=x*(f(x)+4)=x(x²-2x-3+4)=x(x-1)^2