已知:如图,AD为△ABC(AB＞AC)的角平分线,AD的垂直平分线和BC的延长线交于E.求证：DE²=CE·BE.老实说要链接AE就能做.

已知:如图,AD为△ABC(AB＞AC)的角平分线,AD的垂直平分线和BC的延长线交于E.求证：DE²=CE·BE.老实说要链接AE就能做.
已知:如图,AD为△ABC(AB＞AC)的角平分线,AD的垂直平分线和BC的延长线交于E.求证：DE²=CE·BE.

老实说要链接AE就能做.

已知:如图,AD为△ABC(AB＞AC)的角平分线,AD的垂直平分线和BC的延长线交于E.求证：DE²=CE·BE.老实说要链接AE就能做.
连接AE
∵EF垂直平分AD,∴AE=DE,∠ADE=∠DAE
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD
∵∠ACE=∠ADE+∠CAD=∠DAE+∠BAD=∠BAE,∠AEC=∠BEA
∴△ABE∽△CAE
∴BE/AE=AE/CE,即AE²=BE*CE
∴DE²=CE*BE

连接AE

因为EF为AD的垂直平分线

所以有AF=FD

∠AFE=∠DFE,EF=EF

所以△AFE全等于△DFE

所以AE=DE,∠EAF=∠EDF,也就是图中∠2+∠3=∠4    （3）

又因为∠4=∠1+∠B      （1）

AD是∠BAC的角平分线，所以∠1=∠2   （2）

把（2）式带入（1）式有∠4=∠2+∠B 

因∠2+∠3=∠4

所以∠2+∠3=∠2+∠B

所以∠3=∠B

∠5=∠B+∠1+∠2=∠3+∠1+∠2=∠BAE

因为∠AEB=∠CEA

所以△BAE∽△ACE

所以有AE/CE=BE/AE

又因为AE=DE

所以有AE/CE=BE/AE=DE/CE=BE/DE

所以DE^2=CE*BE