设x=a+b-c,y=a+c-b,z=b+c-a,其中a、b、c是待定的质数,如果x^2=y,根号z-根号y=2,试求积abc的所有可能值

设x=a+b-c,y=a+c-b,z=b+c-a,其中a、b、c是待定的质数,如果x^2=y,根号z-根号y=2,试求积abc的所有可能值
设x=a+b-c,y=a+c-b,z=b+c-a,其中a、b、c是待定的质数,如果x^2=y,根号z-根号y=2,试求积abc的所有可能值

设x=a+b-c,y=a+c-b,z=b+c-a,其中a、b、c是待定的质数,如果x^2=y,根号z-根号y=2,试求积abc的所有可能值
由题得
x + y = 2a,又 x^2 = y,代入有
x^2 + x - 2a = 0
delta = 1 + 8a,故由求根公式有
x = [-1 (+/-) sqrt(1+8a)]/2,又x必为整数,所以
sqrt(1+8a)为奇数,设为2k+1,即(2k+1)^2 = 1 + 8a,展开有
4k^2 + 4k = 8a,k(k+1) = 2a,又a为质数,所以2a的分解只可能有1*2a,2*a这两种,所以2a=2(a=1,非质数,舍去)或a=3（符合要求）（当然,其实在得出x^2 + x - 2a = 0的时候用十字分解法就可以看出来,上面是严格证明).
确定a=3后,代入得出x=-3或x=2；
如果x=-3:
那么y=9,z=(2+sqrt(y))^2=25,2b=x+z=22,b=11,c=a+b-x=17
如果x=2：
那么y=4,z=(2+sqrt(y))^2=16,2b=x+z=18,b=9,非质数,舍去；
所以符合条件的只有a=3,b=11,c=17,此时abc＝561