如图,过⊙O上一点A的切线AC与⊙O直径BD的延长线交于点C,过A作AE⊥BC于点E．（1）求证：∠CAE=2∠B；（2）已知：AC=8,且CD=4,求⊙O的半径及线段AE的长．

如图,过⊙O上一点A的切线AC与⊙O直径BD的延长线交于点C,过A作AE⊥BC于点E．（1）求证：∠CAE=2∠B；（2）已知：AC=8,且CD=4,求⊙O的半径及线段AE的长．
如图,过⊙O上一点A的切线AC与⊙O直径BD的延长线交于点C,过A作AE⊥BC于点E．

（1）求证：∠CAE=2∠B；

（2）已知：AC=8,且CD=4,求⊙O的半径及线段AE的长．

如图,过⊙O上一点A的切线AC与⊙O直径BD的延长线交于点C,过A作AE⊥BC于点E．（1）求证：∠CAE=2∠B；（2）已知：AC=8,且CD=4,求⊙O的半径及线段AE的长．
（1）延长AE交⊙O于点F 所以∠CAF=∠ABF；（同弧上的圆周角与弦切角相等）
又因为∠ABF=2∠B 所以 ∠CAF=∠B
（2）AC²=CDXCB 64=4XCB CB=16 DB=CB-CD=16-4=12
⊙O的半径为DB/2=12/2=6
连接AO 由△AEO∽△CAO 所以AE/AO=AO/CO
AE/6=6/10 AE=36/10

AC是圆O的切线，AC²=CD*CB,AC=8，且CD=4,CB=64/4=14,BD=CB-CD=14-4=10

R=DO=AO=DO=1/2*DB=1/2*10=5,

AE⊥BC,AE²=AC²-CE²=AC²-(CD+DE)²,  AE²=AO²-OE²=AO²-(DO-DE)²

AE²=8²-(4+DE)²,AE²=5²-(5-DE)²,   DE=8/3,AE=√176/9=4√11/3