设f(x)在[0,1]内连续,在(0,1)内可导,证明:存在m属于(0,1),使得f(m)+f'(m)=e^(-m)[f(1)e-f(0)]如题,应用拉格朗日中值定理和柯西中值定理时不知道如何变形,

设f(x)在[0,1]内连续,在(0,1)内可导,证明:存在m属于(0,1),使得f(m)+f'(m)=e^(-m)[f(1)e-f(0)]如题,应用拉格朗日中值定理和柯西中值定理时不知道如何变形,
设f(x)在[0,1]内连续,在(0,1)内可导,证明:存在m属于(0,1),使得f(m)+f'(m)=e^(-m)[f(1)e-f(0)]
如题,应用拉格朗日中值定理和柯西中值定理时不知道如何变形,

设f(x)在[0,1]内连续,在(0,1)内可导,证明:存在m属于(0,1),使得f(m)+f'(m)=e^(-m)[f(1)e-f(0)]如题,应用拉格朗日中值定理和柯西中值定理时不知道如何变形,
令 g(x) = e^x f(x)
g'(x) = e^x [ f(x) + f'(x) ]
由拉格朗日中值定理
存在 m属于(0,1) ,使
[ g(1) - g(0) ] / (1 - 0) = g'(m)
即 e*f(1) - f(0) = e^m [ f(m) +f'(m) ]
即 f(m) + f'(m) = e^(-m) * [ e*f(1) - f(0) ]
证毕.

构造函数g(x)=e^x*f(x),[g(x)]'=e^x*(f(x)+f'(x)),
存在m，使(g(1)-g(0))/(1-0)=g'(m)，即
f(m)+f'(m)=e^(-m)[f(1)e-f(0)]
证毕